Question

若方程x³=3x-1的3個根分別是x₁、x₂、x₃，其中x₁＜x₂＜x₃，則x₂所在的區(qū)間為

 

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Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-3x+1，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，結(jié)合根的存在條件，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設f（x）=x³-3x+1，
則f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
由f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，解得-1＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即x=1是函數(shù)的極小值f（1）=-1，
當x=-1時，函數(shù)取得極大值f（-1）=3，
則x₁＜-1，-1＜x₂＜1，x₃＞1，
∵f（0）=1＞0，
∴f（0）f（1）＜0，
即x₂所在的區(qū)間為（0，1），
故答案為：（0，1）

點評：本題主要考查方程根的區(qū)間的判斷．構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．