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已知f（x）定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf'（x）-f（x）≥0，對于任意的正數a，b，若a＜b，①af（b）≤bf（a）；②af（b）≥bf（a）；③af（a）≤bf（b）；④af（a）≥bf（b）．其中正確的是


  1. A.
    ③
  2. B.
    ①③
  3. C.
    ②④
  4. D.
    ②③
D
分析：分別構建函數g（x）=xf（x），h（x）=，利用xf'（x）-f（x）≥0，確定它們的單調性，從而可得結論．
解答：構造函數g（x）=xf（x）
∴g′（x）=xf'（x）+f（x）
∵xf'（x）-f（x）≥0，
∴g′（x）≥2f（x）≥0
∴g（x）在（0，+∞）上為單調增函數
∵a＜b，
∴g（a）＜g（b）
∴af（a）≤bf（b）
構造函數h（x）=
∴
∵xf'（x）-f（x）≥0，
∴h′（x）≥0
∴h（x）在（0，+∞）上為單調增函數
∵a＜b，
∴h（a）＜h（b）
∴
∴af（b）≥bf（a）
∴②③正確
故選D．
點評：本題重點考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查利用函數的單調性，建立不等關系，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）定義在R上的函數，對于任意的實數a，b都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1．
（1）求f（
12
）的值
（2）求f（2-n）的解析式（n∈N*）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf'（x）-f（x）≥0，對于任意的正數a，b，若a＜b，①af（b）≤bf（a）；②af（b）≥bf（a）；③af（a）≤bf（b）；④af（a）≥bf（b）．其中正確的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf′（x）-f（x）≥0，對于任意的正數a，b，若a＜b，
①af（b）≤bf（a）
②af（b）≥bf（a）
③af（a）≤bf（b）
④af（a）≥bf（b）
其中正確的是
②③
②③
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）定義在R上以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x，若關于x的方程f（x）=kx+k+1（其中k常數）有4個不同的實數根，則k的取值范圍是
(-
1
3
，-
1
5
)∪(
1
5
，
1
3
)
(-
1
3
，-
1
5
)∪(
1
5
，
1
3
)
．

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科目：高中數學 來源：2009年高考數學壓軸試卷集錦（10）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）定義在R上的函數，對于任意的實數a，b都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1．
（1）求f（）的值
（2）求f（2-n）的解析式（n∈N*）

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