已知拋物線x2=2py（p＞0）上一點P（x，1）到焦點F的距離為2，
（1）求拋物線的方程；
（2）過點F的動直線l交拋物線于A、B兩點，求弦AB中點Q的軌跡方程．

解：（1）拋物線的準(zhǔn)線：，
∴點P到準(zhǔn)線的距離為，
∴p=2，
∴拋物線方程為x2=4y．
（2）F（0，1），設(shè)AB方程為y=kx+1（k顯然存在）
由，（△＞0恒成立）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），
則x1+x2=4k，
∵Q（x，y）是線段AB的中點，
∴，
∴k=，
∴，
整理，得x2-2y+2=0．
故弦AB中點Q的軌跡方程為：x2-2y+2=0．
分析：（1）由拋物線的準(zhǔn)線：，知點P到準(zhǔn)線的距離為，由此能求出拋物線方程．
（2）F（0，1），設(shè)AB方程為y=kx+1（k顯然存在），由，由此能求出弦AB中點Q的軌跡方程．
點評：本題考查拋物線方程的求法和求弦AB中點Q的軌跡方程．通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•合肥三模）已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），過拋物線上點M（-2
p
，p）作△MAB，A、B兩均在拋物線上．過M作x軸的平行線，交拋物線于點N．
（I）若MN平分∠AMB，求證：直線AB的斜率為定值；
（II）若直線AB的斜率為
p
，且點N到直線MA，MB的距離的和為4p，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•廣州模擬）已知拋物線x2=2py（p＞0），過動點M（0，a），且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同兩點A、B，|AB|≤2p，
（1）求a的取值范圍；
（2）若p=2，a=3，求直線L與拋物線所圍成的區(qū)域的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：黑龍江省大慶實驗中學(xué)2010-2011學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：013

已知拋物線x2＝2py(p＞0)，過點向拋物線引兩條切線，A、B為切點，則線段AB的長度是

[　　]
A．

2p

B．

p

C．

D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣東省廣州市2007年高三年級六校聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試卷 題型：044

已知拋物線x2＝2py(p＞0)，過動點M(0，a)，且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同兩點A、B，|AB|≤2p，

(1)求a的取值范圍；

(2)若p＝2，a＝3，求直線L與拋物線所圍成的區(qū)域的面積；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江西省名校高考信息卷一（理） 題型：選擇題

 已知拋物線x2 = 2py (p > 0)，過點M (0 , - )向拋物線引兩條切線，A、B為切點，則線段

AB的長度是

A.2p

B.p

C.

D.

 

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