已知長方體中,底面為正方形,面,,,點在棱上,且.
(Ⅰ)試在棱上確定一點,使得直線平面,并證明;
(Ⅱ)若動點在底面內(nèi),且,請說明點的軌跡,并探求長度的最小值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)點在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心,半徑等于2的四分之一圓弧,且長度的最小值為.
解析試題分析:(Ⅰ)先利用證明四邊形為平行四邊形證明從而證明直線平面,或者可以以平面為已知條件出發(fā),利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到,進(jìn)而確定點的位置;(Ⅱ)先確定四邊形的形狀以及各邊的長度,然后再根據(jù)以及點為定點這一條件確定點的軌跡,在計算的過程中,可以利用平面以及從而得到平面,于是得到,進(jìn)而可以由勾股定理,從而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)取到最小值時,取到最小值.
試題解析:(Ⅰ)取的四等分點,使得,則有平面. 證明如下: 1分
因為且,
所以四邊形為平行四邊形,則, 2分
因為平面,平面,所以平面. 4分
(Ⅱ)因為,所以點在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心,半徑等于2的四分之一圓。 6分
因為,面,所以面, 7分
故. 8分
所以當(dāng)的長度取最小值時,的長度最小,此時點為線段和四分之一圓弧的交點, 10分
即,
所以.
即長度的最小值為. 12分
考點:直線與平面平行、勾股定理、點到圓上一點距離的最值
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直角梯形,是邊上的中點(如圖甲),,,,將沿折到的位置,使,點在上,且(如圖乙)
(Ⅰ)求證:平面ABCD.
(Ⅱ)求二面角E?AC?D的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知多面體的底面是邊長為的正方形,底面,,且.
(Ⅰ )求多面體的體積;
(Ⅱ )求證:平面EAB⊥平面EBC;
(Ⅲ)記線段CB的中點為K,在平面內(nèi)過K點作一條直線與平面平行,要求保留作圖痕跡,但不要求證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直角梯形中,是邊長為2的等邊三角形,.沿將折起,使至處,且;然后再將沿折起,使至處,且面面,和在面的同側(cè).
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在如圖所示的幾何體中,是邊長為2的正三角形,平面ABC,平面平面ABC,BD=CD,且.
(1)若AE=2,求證:AC∥平面BDE;
(2)若二面角A—DE—B為60°.求AE的長。
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