已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
1
2
，右焦點(diǎn)到到右頂點(diǎn)的距離為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)的直線l：y=kx+m（k∈R），使得|
OA
+2
OB
|=|
OA
-2
OB
|成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出e=
c
a
=
1
2
，a-c=1．由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）存在直線l，使得|
OA
+2
OB
|=|
OA
-2
OB
|成立．設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），半焦距為c．
依題意e=
c
a
=
1
2
，由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1，得a-c=1．
解得c=1，a=2．
所以b2 =4-1=3．                              
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）解：存在直線l，使得|
OA
+2
OB
|=|
OA
-2
OB
|成立．理由如下：
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，化簡(jiǎn)得3+4k2＞m2．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2
．
若|
OA
+2
OB
|=|
OA
-2
OB
|成立，
即|
OA
+2
OB
|2=|
OA
-2
OB
|2，等價(jià)于
OA
•
OB
=0．
所以x1x2+y1y2=0．
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
（1+k2）•
4m2-12
3+4k2
-km•
8km
3+4k2
+m2=0，
化簡(jiǎn)得7m2=12+12k2．
將k2=
7
12
m2-1代入3+4k2＞m2中，3+4（
7
12
m2-1）＞m2，
解得m2＞
3
4
．
又由7m2=12+12k2≥12，得m2≥
12
7
，
從而m2≥
12
7
，解得m≥
2
21
7
或m≤-
2
21
7
．
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，-
2
21
7
]∪[
2
21
7
，+∞)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地加以運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓P：x2+y2=4y及拋物線S：x2=8y，過圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)，自左向右順次記為A，B，C，D，如果線段AB，BC，CD的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則直線l的斜率為（　�。�
A、±
2
2
B、
2
2
C、±
2
D、
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中，說法錯(cuò)誤的是（　�。�
A、“若p，則q”的否命題是：“若￢p，則￢q”
B、“?x＞2，x2-2x＞0”的否定是：“?x≤2，x2-2x≤0”
C、“p∧q是真命題”是“p∨q是真命題”的充分不必要條件
D、“若b=0，則函數(shù)f（x）=ax2+bx+c是偶函數(shù)”的逆命題是真命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求證：3+tan1°•tan2°+tan2°•tan3°=
tan3°
tan1°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-blnx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y=1．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-x2+m（x-1）的最小值為0，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求證：
x2-x1
lnx2-lnx1
＜2x2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1-3an=3n（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足bn=
an
3n

（Ⅰ）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）設(shè)Sn=
a1
3
+
a2
4
+
a3
5
+…+
an
n+2
，求滿足不等式
1
128
＜
Sn
S2n
＜
1
4
的所有正整數(shù)n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在圓x2+y2=8上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線PD，D為垂足，M為垂線段PD上的點(diǎn)，且滿足|MD|=
2
2
|DP|．
（1）求點(diǎn)M的軌跡E方程；
（2）若直線l與（1）中軌跡E相交于不同兩點(diǎn)A，且滿足
OA
⊥
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)為），
①求線段AB長(zhǎng)度的取值范圍．
②若T是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，且與直線l相切的圓，求T的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

判斷函數(shù)f（x）=ax2+1（a＞0）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

把半徑為r的四個(gè)小球全部放入一個(gè)大球內(nèi)，則大球半徑的最小值為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案