Question

求證：

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

，n∈N^*．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：利用數(shù)學歸納法的證明步驟，驗證n=1時成立，假設n=k是成立，證明n=k+1時等式也成立即可．

解答： 證明：（1）當n=1時，左邊=

1

3

，右邊=

1

3

，等式成立．--（3分）
（2）假設當n=k時，等式成立，即

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k(k+1)

2(2k+1)

-----（6分）
那么，當n=k+1時，左邊=

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

k(k+1)

2(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

(k+1)(k+2)

2(2k+3)

這就是說，當n=k+1時等式也成立．----------------------（13分）
根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N^*都成立．-----------------------（14分）

點評：本題是中檔題，考查數(shù)學歸納法的應用，注意數(shù)學歸納法證明時，必須用上假設．