Question

定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18，若函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在R上恰有六個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  5

  5

  ）
• B、(

  5

  5

  ，1)
• C、(

  5

  5

  ，

  3

  3

  )
• D、(

  3

  3

  ，1)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函數(shù)f（x）的周期為2，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18，畫出圖形，根據(jù)函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上恰有六個(gè)零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解；

解答： 解：因?yàn)?f（x+2）=f（x）+f（1），且f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)
令x=-1 所以 f（-1+2）=f（-1）+f（1），f（-1）=f（1）
即 f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x）
f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²
圖象為開口向下，頂點(diǎn)為（3，0）的拋物線
∵函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上有六個(gè)零點(diǎn)，
令g（x）=log_a（|x|+1），
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上有六個(gè)零點(diǎn)，

如上圖所示，只需要滿足

g(2)＞-2 g(4)＜-2

，
解得

5

5

＜a＜

3

3

，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的周期性與單調(diào)性，屬于中檔題，難度中．