Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線 x+y+

2

=0相切．A、B是橢圓的左右頂點，直線l 過B點且與x軸垂直，如圖．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）設(shè)G是橢圓上異于A、B的任意一點，GH丄x軸，H為垂足，延長HG到點Q 使得HG=GQ，連接AQ并延長交直線l于點M，點N為MB的中點，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用原點到直線x+y+

2

=0的距離等于b求解b的值，再結(jié)合離心率及 a²=b²+c² 可求得a的值，所以橢圓的標準方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出A，B的坐標，設(shè)出G點坐標并用G的坐標表示Q的坐標，由G在橢圓上得到G點的坐標滿足的函數(shù)關(guān)系式，寫出直線AQ的方程，和x=2聯(lián)立求講解M的坐標，利用中點坐標公式得到N的坐標，求出QN的方程并化為一般式，利用點到直線的距離求原點到直線QN的距離，從而得到直線QN與以AB為直徑的圓O相切．

解答：解：（Ⅰ）由題可得：e=

c

a

=

3

2

．
∵以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x+y+

2

=0相切，
∴

|0+0+ 2 |

12+12

=b，解得b=1．
再由 a²=b²+c²，可解得：a=2．
∴橢圓的標準方程：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A（-2，0），B（2，0），直線l的方程為：x=2．
設(shè)G（x₀，y₀）（y₀≠0），于是Q（x₀，2y₀），
且有

x02

4

+y02=1，即4y₀²=4-x₀²．
∴直線AQ的方程為：y=

2y0

x0+2

(x+2)，
由

y= 2y0 x0+2 (x+2) x=2

，解得：

x=2 y= 8y0 x0+2

，即M(2，

8y0

x0+2

)，
∴N(2，

4y0

x0+2

)．
∴直線QN的斜率為：kQN=

4y0 x0+2 -2y0

2-x0

=

-2x0y0

4-x02

=

-2x0y0

4y02

=

-x0

2y0

，
∴直線QN的方程為：y-

4y0

x0+2

=

-x0

2y0

(x-2)
即

x0

2y0

x+y-

4y0

x0+2

-

x0

y0

=0
∴點O到直線QN的距離為
d=

|0- 4y0 x0+2 - x0 y0 |

( x0 2y0 )2+1

=

| 4y02+x02+2x0 (x0+2)y0 |

x02+4y02 4y02

=2．
∴直線QN與以AB為直徑的圓O相切．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了學生的運算能力，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，一般離不開聯(lián)立方程組，往往有繁雜的計算，所以要仔細運算，該題是難題．