Question

函數(shù)y=sinx+cosx在[0，π]上的極大值為

2

．

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)等于0求出定義域內(nèi)的x的值，分析導函數(shù)在各段內(nèi)的符號，從而得到原函數(shù)在各段內(nèi)的單調(diào)性，由單調(diào)性判出極值點，最后把極值點的橫坐標代入原函數(shù)求極值．

解答：解：由y=sinx+cosx，得：y^′=（sinx+cosx）^′=cosx-sinx，
再由cosx-sinx=0，得sinx=cosx，即tanx=1，因為x∈[0，π]，所以x=

π

4

．
所以，當x∈（0，

π

4

）時，y^′=cosx-sinx＞0，函數(shù)y=sinx+cosx為增函數(shù)，
當x∈（

π

4

，π）時時，y^′=cosx-sinx＜0，函數(shù)y=sinx+cosx為，減函數(shù)，
所以，函數(shù)y=sinx+cosx在[0，π]上的極大值為f(

π

4

)=sin

π

4

+cos

π

4

=

2

2

+

2

2

=

2

．
故答案為

2

．

點評：本題考查了利用導函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的極值點，對于連續(xù)函數(shù)來說，函數(shù)在某一點處先增后減為極大值點，先減后增為極小值點，解答此類問題的關鍵是判斷導函數(shù)在各分段區(qū)間內(nèi)的符號，此題是中檔題．