【題目】已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為．

（1）設(shè)過點的直線與橢圓相交于、兩點，若的中點恰好為點，求該直線的方程；

（2）過右焦點的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓上的點和離心率求出橢圓方程，結(jié)合點差法解決中點弦問題，求出直線斜率，求解直線方程；

（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓，根據(jù)交點坐標關(guān)系，求出線段的垂直平分線方程，得出的表達式，利用函數(shù)關(guān)系求解取值范圍.

（1）由題意，得，解得

所以橢圓的標準方程是．

設(shè)點，，則

兩式相減得，

又，，代入得，即，

故所求直線的方程是，即．

（2）（i）當直線與軸垂直時，，符合題意．

（ii）當直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，．

聯(lián)立方程

消去，可得，易知．

設(shè)，，線段的中點為，

則，，

所以，

所以線段的中點的坐標為．

由題意可知，，，

故直線的方程為．

令，得，即．

當時，得，當且僅當時等號成立；

當時，得，當且僅當時等號成立．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，圓， 是圓M內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點，線段PN的垂直平分線l和半徑MP相交于點Q，當點P在圓M上運動時，點Q的軌跡為曲線E

（1）求曲線E的方程；

（2）過點D(0，3)作直線m與曲線E交于A，B兩點，點C滿足 (O為原點)，求四邊形OACB面積的最大值，并求此時直線m的方程；

（3）已知拋物線上，是否存在直線與曲線E交于G，H，使得G，H的中點F落在直線y=2x上，并且與拋物線相切，若直線存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)點，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為0．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點，是直線上的兩點，且，，求四邊形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，首項為2．若對任意的正整數(shù)，恒成立．

（1）求，，；

（2）求證：是等比數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列滿足，若數(shù)列，，…，（，）為等差數(shù)列，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（），是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）當時，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若對任意的，（），求的最大值；

（3）若的極大值為，求不等式的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形中，，為的中點，現(xiàn)將與折起，使得平面及平面都與平面垂直.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 ，四點，，，中恰有三點在橢圓上.

（I）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過的右焦點作斜率為的直線與交于，兩點，直線與軸交于點，為線段的中點，過點作直線于點.證明：，，三點共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若四面體的三組對棱分別相等，即，，，則________.（寫出所有正確結(jié)論的編號）

①四面體每個面的面積相等

②四面體每組對棱相互垂直

③連接四面體每組對棱中點的線段相互垂直平分

④從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱的長都可以作為一個三角形的三邊長

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線M:的焦點為F，過焦點F的直線l(與x軸不垂直)交拋物線M于點A，B，A關(guān)于x軸的對稱點為.

(1)求證:直線過定點，并求出這個定點；

(2)若的垂直平分線交拋物線于C，D，四邊形外接圓圓心N的橫坐標為19，求直線AB和圓N的方程.

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同步練習(xí)冊答案