Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-ax+1）•e^x．
（I）當(dāng)a=3時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（II）對任意b＞0，f（x）在區(qū)間[b-lnb，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）當(dāng)a=3時，f（x）=（x²-3x+1）•e^x，∴f′（x）=（x²-x-2）•e^x．
∴f′（1）=-2e；
∵f（1）=-e
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+e=-2e（x-1），即2ex+y-e=0；
（II）f′（x）=（x+1）（x+1-a）•e^x．
記g（x）=x-lnx（x＞0），則g′（x）=
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）是減函數(shù)
∴g（x）_min=g（1）=1-ln1=1
∵對任意b＞0，f（x）在區(qū)間[b-lnb，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)a-1≤1，即a≤0時，顯然成立；
當(dāng)a-1＞-1，即a＞0時，必修a-1≤1，即0＜a≤2
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤2．
分析：（I）確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，求得切線的斜率，即可得到曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（II）先將對任意b＞0，f（x）在區(qū)間[b-lnb，+∞）上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，再分類討論，即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．