Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

3x+1

（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）是否存在實數(shù)a，使f（x）為奇函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在說明理由；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對任意實數(shù)x∈（0，1），由f（λx+1）＞f（λ²+x）恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由題意，若存在，則f（-x）+f（x）=0；從而化簡可得2a-2=0，解出代回檢驗；
（Ⅱ）先判斷函數(shù)f（x）=a-

2

3x+1

是R上的增函數(shù)，再出函數(shù)的四則運算證明函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）由f（x）=a-

2

3x+1

是R上的增函數(shù)，f（λx+1）＞f（λ²+x）可化為λx+1＞λ²+x；即（λ-1）x-λ²+1＞0對任意實數(shù)x∈（0，1）恒成立，從而解得．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，若存在，
則f（-x）+f（x）=0；
即a-

2

3-x+1

+a-

2

3x+1

=0；
即2a-2=0，
解得a=1；
經(jīng)檢驗，當a=1時，f（x）=1-

2

3x+1

是R上的奇函數(shù)；
故a=1；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=a-

2

3x+1

是R上的增函數(shù)，證明如下，
∵y=3^x+1＞1且在R上是增函數(shù)，
∴y=

2

3x+1

＞0且在R上是減函數(shù)，
故y=-

2

3x+1

在R上是增函數(shù)，
故f（x）=a-

2

3x+1

是R上的增函數(shù)；
（Ⅲ）∵f（x）=a-

2

3x+1

是R上的增函數(shù)，
∴f（λx+1）＞f（λ²+x）可化為λx+1＞λ²+x；
即（λ-1）x-λ²+1＞0對任意實數(shù)x∈（0，1）恒成立，
故-λ²+1≥0且（λ-1）-λ²+1≥0，
解得，0≤λ≤1．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．