Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（a＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的右支上，點(diǎn)P（7，2）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線(xiàn)4x+3y+m=0與雙曲線(xiàn)C至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則|AP|+|AF₂|的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{37}$-6
• B． 10-3$\sqrt{5}$
• C． 8-$\sqrt{37}$
• D． 2$\sqrt{5}$-2

Answer 1

分析 利用對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線(xiàn)4x+3y+m=0與雙曲線(xiàn)C至多有一個(gè)公共點(diǎn)，得出直線(xiàn)4x+3y+m=0與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{4}{a}$x，重合或平行，求出a，再利用雙曲線(xiàn)的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（a＞0），
∴雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{4}{a}$x，
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線(xiàn)4x+3y+m=0與雙曲線(xiàn)C至多有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴直線(xiàn)4x+3y+m=0與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{4}{a}$x，重合或平行，
∴a=3，
∴c=5，
∴F₁為（-5，0），
∵P（7，2），∴|PF₁|=$\sqrt{（7+5）^{2}+4}$=2$\sqrt{37}$，
∴|AP|+|AF₂|=|AP|+|AF₁|-6≥|PF₁|-6=2$\sqrt{37}$-6
∴|AP|+|AF₂|的最小值為2$\sqrt{37}$-6，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查雙曲線(xiàn)定義的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．