Question

（2012•東城區(qū)一模）已知函數f(x)=

1

2

x2+2ex-3e2lnx-b在（x₀，0）處的切線斜率為零．
（Ⅰ）求x₀和b的值；
（Ⅱ）求證：在定義域內f（x）≥0恒成立；
（Ⅲ） 若函數F(x)=f′(x)+

a

x

有最小值m，且m＞2e，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，由函數f(x)=

1

2

x2+2ex-3e2lnx-b在（x₀，0）處的切線斜率為零，即可求x₀和b的值；
（Ⅱ）確定f（x）在（0，e）單調遞減，在（e，+∞）單調遞增，可得函數f（x）在（0，+∞）上的最小值，即可證得結論；
（Ⅲ）由F(x)=f′(x)+

a

x

=x+

a-3e2

x

+2e（x＞0），分類討論，利用基本不等式及函數的單調性，結合函數F(x)=f′(x)+

a

x

有最小值m，且m＞2e，即可求實數a的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：求導函數可得f′(x)=x+2e-

3e2

x

．…（2分）
由題意有f'（x₀）=0，即x0+2e-

3e2

x0

=0，解得x₀=e或x₀=-3e（舍去）．…（4分）
∴f（e）=0即

1

2

e2+2e2-3e2lne-b=0，解得b=-

1

2

e2．            …（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f(x)=

1

2

x2+2ex-3e2lnx+

e2

2

(x＞0)，
f'（x）=x+2e-

3e2

x

=

(x-e)(x+3e)

x

(x＞0)．
在區(qū)間（0，e）上，有f'（x）＜0；在區(qū)間（e，+∞）上，有f'（x）＞0．
故f（x）在（0，e）單調遞減，在（e，+∞）單調遞增，
于是函數f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（e）=0．                       …（9分）
故當x＞0時，有f（x）≥0恒成立．                                   …（10分）
（Ⅲ）解：F(x)=f′(x)+

a

x

=x+

a-3e2

x

+2e（x＞0）．
當a＞3e²時，則F(x)=x+

a-3e2

x

+2e≥2

a-3e2

+2e，當且僅當x=

a-3e2

時等號成立，
故F（x）的最小值m=2

a-3e2

+2e＞2e，符合題意；                  …（13分）
當a=3e²時，函數F（x）=x+2e在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，不存在最小值，不合題意；
當a＜3e²時，函數F(x)=x+

a-3e2

x

+2e在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，不存在最小值，不合題意．
綜上，實數a的取值范圍是（3e²，+∞）．                                    …（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，正確求函數的最值是關鍵．