Question

（2012•揚(yáng)州模擬）已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移

π

4

個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若g(α)=

2

3

+1，α為第一象限角，求sin2α值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）利用平移規(guī)律：“左加右減”，確定出f（x）平移后的解析式g（x），根據(jù)g（α）的值列出關(guān)系式，整理后得出sin（2α-

π

4

）的值，由α為第一象限角，得出2α-

π

4

的范圍，再根據(jù)sin（2α-

π

4

）的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（2α-

π

4

）的值，將所求式子中的角2α變形為（2α-

π

4

）+

π

4

，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（Ⅱ）由題意得：g（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+1，
由A（0，-1），得

2

sin（2α-

π

4

）+1=

2

3

+1，
∴sin（2α-

π

4

）=

1

3

，
又α為第一象限角，
∴2α-

π

4

∈（4kπ-

π

4

，4kπ+

3π

4

），k∈Z，
又0＜sin（2α-

π

4

）＜

1

3

＜

2

2

知，
∴2α-

π

4

∈（4kπ，4kπ+

π

2

），k∈Z，
∴cos（2α-

π

4

）=

2 2

3

，
∴sin2α=sin[（2α-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

[sin（2α-

π

4

）+cos（2α-

π

4

）]=

2

2

（

1

3

+

2 2

3

）=

2 +4

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，三角函數(shù)圖象的變換，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．