Question

設定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足以下條件：①對于任意實數(shù)a，b，都有f（a•b）=f（a）+f（b）-p，其中p是正實數(shù)；②f（2）=p-1；（2）③x＞1時，總有f（x）＜p
（1）求的值（寫成關于p的表達式）；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵f（a）+f（b）-P=f（a•b），
令a=b=1，則f（1）=P
=
∴
（2）設0＜x₁＜x₂，
==
∵，∴∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
分析：本題考查的是抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識的綜合應用問題．在解答時，對于（1）只需要利用特值得方法即可獲得解答；對于（2）要利用好條件③再結(jié)合單調(diào)性的定義證明即可獲得解答．
點評：本題考查的是抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知識的綜合應用問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了抽象函數(shù)特值的思想、函數(shù)單調(diào)性以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學們體會反思．