Question

【題目】試討論函數(shù)f（x）= 在區(qū)間[0，1]上的單調性．

Answer 1

【答案】解：f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，理由如下：
證法一：設x1、x2∈﹣1，1]且x1＜x2 ， 即﹣1≤x1＜x2≤1．
f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = =﹣ ，
∵x2﹣x1＞0， ＞0，
∴當x1＞0，x2＞0時，x1+x2＞0，
那么f（x1）＞f（x2）．
故f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)；
證法二：∵函數(shù)f（x）= ，令y= ，u=1﹣x2 ，
則y′= ，u′=﹣2x．
∴f′（x）= ，
當x∈[0，1）時，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立
當x=1時，f（x）=0
故f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)
【解析】f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，理由如下：
證法一：設x1、x2∈﹣1，1]且x1＜x2 ， 作差判斷出f（x1）＞f（x2）可得：f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)；
證法二：求導，根據(jù)當x∈[0，1）時，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立，當x=1時，f（x）=0可得：f（x）= 在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)；
【考點精析】掌握函數(shù)單調性的判斷方法和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減．