Question

如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函，下面四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=1；②f（x）=x²；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f（x）=

x

x2+x+1

．
其中屬于有界泛函的是

 

．

Answer 1

分析：先把原定義轉(zhuǎn)化為求當(dāng)x≠0時(shí)有最大值，當(dāng)x=0時(shí)，|f（0）|≤0恒成立問題．
再分別對(duì)①②③④四個(gè)函數(shù)在x≠0時(shí)求最大值，有最大值符合定義，沒最大值就不符合定義．

解答：解；因?yàn)閨f（x）|≤M|x|恒成立 即為當(dāng)x=0時(shí)，|f（0）|≤0恒成立，
當(dāng)x≠0時(shí)，

|f(x)|

|x|

≤M恒成立，只要

|f(x)|

|x|

有最大值即可．
對(duì)于①f（0）=1不滿足，故①不符合
對(duì)于②當(dāng)x≠0時(shí)，

|f(x)|

|x|

=|x|無最大值，故②不符合
對(duì)于③當(dāng)x≠0時(shí)，

|f(x)|

|x|

=|sinx+cosx|=

2

|sin（x+

π

4

）|有最大值

2

，故③符合
對(duì)于④當(dāng)x≠0時(shí)，

|f(x)|

|x|

=|

1

x2+x+1

=

1

(x+ 1 2 ) 2+ 3 4

|有最大值

4

3

，故④符合
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：本題是在新定義下考查恒成立問題．關(guān)于新定義型的題，關(guān)鍵是理解定義，并會(huì)用定義來解題．