Question

已知如圖，平行四邊形中，，，，正方形所在平面與平面垂直，分別是的中點(diǎn)。

⑴求證：平面；
⑵求平面與平面所成的二面角的正弦值。

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：（1）證明線面平行，一般可考慮線面平行的判定定理，構(gòu)造面外線平行于面內(nèi)線，其手段一般是構(gòu)造平行四邊形，或構(gòu)造三角形中位線(特別是有中點(diǎn)時(shí))，由此本題即要證明的中點(diǎn)也是的中點(diǎn)，于是只要證明四邊形是平行四邊形，此較為容易；（2）求二面角一般分為三個(gè)步驟：作出二面角的平面角，證明此角是二面角的平面角，利用解三角形知識(shí)求出二面角的三角函數(shù)值，也可建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量的夾角，根進(jìn)一步判斷二面角的大小.
試題解析：⑴證明;，,且,
四邊形是平行四邊形，為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)
,平面平面,
平面                       4分
⑵（解法1）過(guò)點(diǎn)作于，易知為中點(diǎn)，連結(jié).
易知，平面，,
是平面與平面所成的二面角的平面角.      8分
,
,
即平面與平面所成的二面角的正弦值為.          12分
（解法2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,    6分
,
設(shè)平面的法向量由，得，
令，又平面的法向量為,      9分
設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，

即平面與平面所成的二面角的正弦值為.          12分