（I）證明函數(shù)f(x)=x+
1
x
在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（II）試利用（I）中的結(jié)論，求函數(shù)y=
x2+4
+
1
x2+4
的最小值．
分析：（Ⅰ）利用f′（x）=1-
1
x2
＞0即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）令g（x）=
x2+4
+
1
x2+4
，利用（I）中的結(jié)論，即可求得其最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=1-
1
x2
，
∴x≥1時，
1
x2
≤1，
∴f′（x）=1-
1
x2
≥0，
∴f（x）=x+
1
x
在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）令u=
x2+4
，
則u≥2，
由（I）中的結(jié)論可知，f（u）=u+
1
u
在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
∵當(dāng)x=0時，umin=2，
∴f（u）min=f（2）=2+
1
2
=
5
2
．
∴y=
x2+4
+
1
x2+4
的最小值為
5
2
．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的作用，考查理解與運算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數(shù)根； ②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）滿足0＜f'（x）＜1．”
（I）判斷函數(shù)f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0只有一個實數(shù)根．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）．
（I）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（II）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（III）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為
32
？若存在，求出a的值，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（I）求函數(shù)f(x)=log3(1+x)+
3-4x
的定義域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）=x+
4
x
的奇偶性
（3）證明函數(shù) f（x）=x+
4
x
 在x∈[2，+∞）上是增函數(shù)，并求f（x）在[4，8]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx．
（I）證明函數(shù)g(x)=f(x)-
2(x-1)
x+1
在x∈（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（II）若不等式1-x2≤f（e1-2x）+m2-2bm-2，當(dāng)b∈[-1，1]{
1
Sn-S1
}(n∈N*，n≥3)時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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