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16.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(-1,0)、C(3,0),交y軸于點(diǎn)A(0,3).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)拋物線第一象限上有一動(dòng)點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN⊥x軸,垂足為N,請(qǐng)求出MN+2ON的最大值,及此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo).

分析 (1)由題意可知:設(shè)y=a(x+1)(x-3),將(0,3)代入即可求得a的值,即可求得拋物線的解析式;
(2)由設(shè)M坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3)(0<x<3,),根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式,求得丨MN丨和丨ON丨,則丨MN丨+2丨ON丨=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,由二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得其最大值,和M坐標(biāo).

解答 解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),代入(0,3),得a=-1,
∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3.
(2)由題意知M坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3)(0<x<3,),
則丨MN丨=-x2+2x+3,丨ON丨=x,
∴丨MN丨+2丨ON丨=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,
∴當(dāng)x=2時(shí),-x2+2x+3=3,即M坐標(biāo)為(2,3)時(shí),
丨MN丨+2丨ON丨取最大值7.

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次函數(shù)函數(shù)解析式,考查一元二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),二次函數(shù)的最值,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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