Question

已知點A（-1，0）、B（1，0）和動點M滿足：∠AMB=2θ，且|AM|•|BM|cos²θ=3，動點M的軌跡為曲線C，過點B的直線交C于P、Q兩點．
（1）求曲線C的方程；
（2）求△APQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出M的坐標，利用余弦定理求得|AM|²+|BM²|-2|AM|•|BM|cos2θ=4整理求得|AM|+|BM|為定值，利用橢圓的定義可推斷出點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，進而求得a和c，則b可求，進而求得橢圓的方程．
（2）設直線PQ方程與橢圓的方程聯立消去x，設出P，Q的坐標利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進而求得（y₁-y₂）²的表達式，令t=3m²+3，利用y=t+的單調性求得（y₁-y₂）²的范圍，進而代入三角形面積公式求得面積的最大值．
解答：解：（1）設M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，
由余弦定理可得|AM|²+|BM²|-2|AM|•|BM|cos2θ=4，
整理變形可得|AM|+|BM|=4，
因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a=2，c=1
∴曲線C的方程為
（2）設直線PQ方程為x=my+1（m∈R）由得：（3m²+4）y²+6my-9=0
顯然，方程①的△＞0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有S=×2×|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
y₁+y₂=-，y₁y₂=-
（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=48×
令t=3m²+3，則t≥3，（y₁-y₂）²=
由于函數y=t+在[3，+∞）上是增函數，∴t+≥
故（y₁-y₂）²≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值為3
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等，突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，故此類題平時應注意多加訓練．