Question

設(shè)函數(shù)是實數(shù)集R上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性并加以證明；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），
即，即
即（a-1）（2^x+1）=0
∴a=1
（或者∵f（x）是R上的奇函數(shù)∴f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．∴．，解得a=1，然后經(jīng)檢驗滿足要求．）
（2）由（1）得
設(shè)x₁＜x₂∈R，則f（x₁）-f（x₂）=（1-）-（1-）
=，
∵x₁＜x₂
∴
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在R上是增函數(shù)
（3），
∵2^x+1＞1，∴，
∴，
∴
所以的值域為（-1，1）
或者可以設(shè)，從中解出2^x=，所以，所以值域為（-1，1）
分析：（1）直接根據(jù)f（-x）=-f（x），整理即可得到結(jié)論．
（2）直接根據(jù)單調(diào)性的證明過程證明即可．
（3）先對原函數(shù)分離常數(shù)，再借助于指數(shù)函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．（也可以采用反函數(shù)的思想）．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．