Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2n

=

sinx

2nsin x 2n

對(duì)一切自然數(shù)n都成立．

Answer 1

分析：要證明等式cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2n

=

sinx

2nsin x 2n

對(duì)一切自然數(shù)n都成立，則我們要先證明n=1時(shí)成立，再假設(shè)n=k時(shí)成立，進(jìn)而n=k+1時(shí)等式也成立．

解答：解：①當(dāng)n=1時(shí)，cos

x

2

=

sinx

2 sin x 2

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2k

=

sinx

2ksin x 2k

則當(dāng)n=k+1時(shí)，
cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2k

•cos

x

2k+1

=

sinx

2ksin x 2k

•cos

x

2k+1

=

sinx

2k•2•sin x 2k+1 cos x 2k+1

•cos

x

2k+1

=

sinx

2nsin x 2k+1

即此時(shí)等式也成立，
故等式cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2n

=

sinx

2nsin x 2n

對(duì)一切自然數(shù)n都成立．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．