Question

在等比數(shù)列{a_n}中，0＜a₁＜a₄=1，則能使不等式(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(an-

1

an

)≤0成立的最大正整數(shù)n是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先由0＜a₁＜a₄=1判斷公比q的范圍，可得n＞4時(shí)an-

1

an

＞0，再用q表示出a₁，…，a₇，從而得到前7項(xiàng)之間的關(guān)系，可得(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(a7-

1

a7

)=0，從而得到所給的不等式成立的最大正整數(shù)n．

解答： 解：由在等比數(shù)列{a_n}中，0＜a₁＜a₄=1，得q＞1，
所以n＞4時(shí)，an-

1

an

＞0，
由a4=a1q3=1得，a₁=

1

q3

，
所以a₂=a₁q=

1

q2

，a3=a1q2=

1

q

，a4=a1q3=1，
a5=a1q4=q，a6=a1q5=q2，a7=a1q6=q3，
綜上得，a1=

1

a7

，a2=

1

a6

，a3=

1

a5

，
則(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(a7-

1

a7

)=0，
所以不等式(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+…+(an-

1

an

)≤0成立的最大正整數(shù)n是7，
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和不等式的綜合，運(yùn)算求解能力，推理論證能力；化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高．