Question

已知△ABC的兩邊長分別為AB=25，AC=39，且O為△ABC外接圓的圓心．（注：39=3×13，65=5×13）
（1）若外接圓O的半徑為，且角B為鈍角，求BC邊的長；
（2）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正弦定理列出關系式，將AB，AC及R的值代入求出sinB與sinC的值，由B為鈍角，得到cosB小于00，cosC大于0，利用同角三角函數(shù)間的基本關系分別求出cosB與cosC的值，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡sin（B+C），將各自的值代入求出sin（B+C）的值，即為sinA的值，由R與sinA的值，利用正弦定理求出BC的長；
（2）由已知得：+=，兩邊平方利用完全平方公式及平面向量的數(shù)量積運算法則化簡，得到一個關系式，同理根據(jù)+=，兩邊平方化簡得到另一個關系式，兩關系式相減，整理后即可求出所求式子的值．
解答：解：（1）由正弦定理有==2R（R為外接圓半徑），
∴==65，
∴sinB=，sinC=，又B為鈍角，
∴cosC=，cosB=-，
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×（-）=，
又=2R，∴BC=2RsinA=65sin（B+C）=16；  
（2）由已知得：+=，∴（+）²=²，
即||²+2•+||²=||²=39²，
同理+=，∴||²+2•+||²=||²=25²，
兩式相減得：2•-2•=（39+25）（39-25）=896，
即2•=896，
則•=448．
點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算法則，完全平方公式及平方差公式的運用，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．