Question

（本小題滿分12分）如圖所示，橢圓：，其中，焦距為，過點的直線與橢圓交于點、，點在之間，又點，的中點橫坐標為，且．

（1）求橢圓的標準方程 ； （2）求實數(shù)的值．

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）運用離心率公式和橢圓的，，的關(guān)系，解得，，即可得到橢圓方程；（2）運用向量共線的知識，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去，運用判別式大于，以及韋達定理和中點坐標公式，計算得到，的橫坐標，即可得到所求值．

試題解析：（1）由條件可知，，，故，橢圓的標準方程是；（2）由，可知三點共線，設(shè)點，點，

若直線軸，則，不合題意， 5分

當(dāng)A所在直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為．

由消去得，①

由①的判別式，解得，

， 7分

由，可得，如圖， 9分

將代入方程①，得，，

又∵，，，

∴，∴， 12分

考點：1．橢圓的方程和性質(zhì)；2．直線與橢圓的位置關(guān)系；3．中點坐標公式．

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

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