(2006湖北,20)設(shè)A、B分別為橢圓(a、b>0)的左、右頂點(diǎn),橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距,且x=4為它的右準(zhǔn)線.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N,證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)(此題不要求在答題卡上畫圖).
解析:(1)依題意得 故橢圓方程為 (2)解法一:由(1)得A(-2,0),B(2,0).設(shè) ∵M點(diǎn)在橢圓上,∴ 又M點(diǎn)異于頂點(diǎn)A、B,∴ 由P、A、M三點(diǎn)共線可得 從而 ∴ 將①式代入②式簡(jiǎn)化得 ∵ 解法二:由(1)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)P(4,λ)(λ≠0),
∵點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上, ∴ 從而 聯(lián)立 ∵ 即 又
于是由③、④式代入⑤式化簡(jiǎn)可得 ∵N點(diǎn)在橢圓上,且異于頂點(diǎn)A、B,∴ 又∵λ≠0,∴ 故∠MBN為鈍角,即點(diǎn)B在以NM為直徑的圓內(nèi). 解法三:由(1)得A(-2,0),B(2,0).設(shè) 化簡(jiǎn)得 直線AP的方程為 直線BP的方程為 ∵點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=4上, ∴ 又∵M點(diǎn)在橢圓上, ∴ 于是將⑦、⑧式代入⑥式化簡(jiǎn)可得
從而B在以MN為直徑的圓內(nèi). |
剖析:本題考查橢圓、圓以及直線與橢圓的位置關(guān)系,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. |
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