Question

【題目】已知函數(shù)
（1）設(shè)a＞1，試討論f（x）單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=x2﹣2bx+4，當(dāng) 時，任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），

= ，

令f'（x）=0，則x1=1， （a＞1，x2＜0）舍去．

令f'（x）＞0，則x＞1，令f'（x）＜0，則0＜x＜1，

所以當(dāng)x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減

（2）解：當(dāng) 時，

由（1）可知f'（x）=0的兩根分別為x1=1，

令f'（x）＞0，則0＜x＜1或x＞3，令f'（x）＜0，則1＜x＜3

可知函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，

所以對任意的x1∈（0，2），有 ，

由條件知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），

所以 即存在x2∈[1，2]，使得 ，

分離參數(shù)即得到 在x∈[1，2]時有解，

由于 （x∈[1，2]）為減函數(shù)，故其最小值為 ，

從而 ，所以實數(shù)b的取值范圍是

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到f（x1）≥f（1）=﹣ ，問題轉(zhuǎn)化為存在x2∈[1，2]，使得 ，分離參數(shù)即得到 在x∈[1，2]時有解，求出b的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．