閱讀下面材料：

根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 ．

（Ⅰ）類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:

;

（Ⅱ）若的三個(gè)內(nèi)角滿足,試判斷的形狀．

 

【答案】

（1）根據(jù)兩角和差的余弦公式可以得到結(jié)論，

（2）為直角三角形

【解析】

試題分析：解：解法一：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080112000491562913/SYS201308011200378842577375_DA.files/image002.png">， ①

， ② 2分

①-② 得.       ③  3分

令有，

代入③得.             6分

（Ⅱ）由二倍角公式,可化為

,               8分

即.                    9分

設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為，

由正弦定理可得                    11分

根據(jù)勾股定理的逆定理知為直角三角形.              12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的結(jié)論和二倍角公式, 可化為

，            8分

因?yàn)锳,B,C為的內(nèi)角，所以，

所以.

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080112000491562913/SYS201308011200378842577375_DA.files/image016.png">，所以,

所以.

從而.                        10分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080112000491562913/SYS201308011200378842577375_DA.files/image020.png">,所以，即.

所以為直角三角形.             12分

考點(diǎn)：解三角形，兩角和差公式

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用兩角和差的公式推理論證表達(dá)式以及運(yùn)用二倍角公式來(lái)得到三角形定形，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（1）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（2）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用閱讀材料及（1）中的結(jié)論試判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cos2A-cos2B=1-cos2C，試判斷△ABC的形狀．（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+subB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ） 類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

（2012•福建模擬）閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cos2A-cos2B=2sin2C，試判斷△ABC的形狀．
（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆江蘇姜堰市高二第二學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

閱讀下面材料：

根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (1) 類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:

;

 (2)若的三個(gè)內(nèi)角滿足,直接利用閱讀材料及(1)中的結(jié)論試判斷的形狀.

 

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