若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，證明：a12+a22+…+an2≥
1
n
． （n≥2，n∈N）
由柯西不等式（a1+a2+a2+a3+a3+a4+…+an+a1）×(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an +a1
)
≥（a1+a2+…+an）2=1．
即2(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an +a1
)≥（a1+a2+…+an）2=1．
(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an +a1
)≥
1
2
，
令a1=a2=…=a1=
1
n
，得a12+a22+…+an2≥
1
n
． （n≥2，n∈N）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，證明：a12+a22+…+an2≥
1n
． （n≥2，n∈N）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•徐匯區(qū)一模）（理）若平面向量
a
滿足|
a
i|=1（i=1，2，3，4）且
ai
•
ai+1
=0（i=1，2，3），則|
a1
+
a2
+
a3
+
a4
|可能的值有
3
3
個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文科做）已知點(diǎn)A1（2，0），A2（1，t），A3（0，b），A4（-1，t），A5（-2，0），其中t＞0，b為正常數(shù)．
（1）半徑為2的圓C1經(jīng)過Ai（i=1，2，…，5）這五個(gè)點(diǎn)，求b和t的值；
（2）橢圓C2以F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（c＞0）為焦點(diǎn)，長軸長是4．若AiF1+AiF2=4（i=1，2，…，5），試用b表示t；
（3）在（2）中的橢圓C2中，兩線段長的差A(yù)1F1-A1F2，A2F1-A2F2，…，A5F1-A5F2構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，求證：對n=1，2，3，4都有an+1＜an．（本小題解答中用到了橢圓的第一定義與焦半徑公式，新教材實(shí)驗(yàn)區(qū)的學(xué)生可不解第三小題，請學(xué)習(xí)時(shí)注意）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備（第92-93課時(shí)）：第十二章 極限-數(shù)列的極限、數(shù)學(xué)歸納法（解析版） 題型：解答題

若ai＞0（i=1，2，3，…，n），且a1+a2+…+an=1，證明：a12+a22+…+an2≥． （n≥2，n∈N）

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