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如圖,兩個工廠A,B相距2km,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),現(xiàn)要在以O(shè)為圓心,2km為半徑的圓弧MN上的某一點(diǎn)P處建一幢辦公樓,其中MA⊥AB,NB⊥AB.據(jù)測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比,比例系數(shù)是1,辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比,比例系數(shù)是4,辦公樓受A,B兩廠的“總噪音影響度”y是受A,B兩廠“噪音影響度”的和,設(shè)AP為xkm.
(Ⅰ)求“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系,并求出該函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)當(dāng)AP為多少時(shí),“總噪音影響度”最��?
解:(Ⅰ)連接OP,設(shè)∠AOP=α,則
;
在△AOP中,由余弦定理得x2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα,
在△BOP中,由余弦定理得BP2=12+22-2×1×2cos(π-α)=5+4cosα,
∴BP2=10-x2.則
;
∵
,則
,∴3≤5-4cosα≤7,
∴
;
所以,
.
(Ⅱ)令t=x2,
;
∴
;
由y'=0,得
,或t=-10(舍去),
當(dāng)
,函數(shù)在
上單調(diào)遞減;
當(dāng)
,函數(shù)在
上單調(diào)遞增;
∴當(dāng)
時(shí),即
時(shí),函數(shù)有最小值,
也即當(dāng)AP為
km時(shí),“總噪音影響度”最�。�
分析:(Ⅰ)連接OP,設(shè)∠AOP=α,在△AOP中,由余弦定理得x2,在△BOP中,由余弦定理得BP2,從而得BP與x的關(guān)系,所以,“總噪音影響度”
;定義域由∠α的取值得出x的取值范圍即可.
(Ⅱ)用換元法,令t=x2,則
;對y求導(dǎo),令y'=0,得
時(shí),函數(shù)有最小值,
即AP=
(km)時(shí),“總噪音影響度”最小即可.
點(diǎn)評:本題考查了余弦定理的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值問題中的應(yīng)用;用求導(dǎo)法求函數(shù)最值時(shí),要先求導(dǎo),再令導(dǎo)數(shù)等于0,并判斷導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)是否為最值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué)
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如圖,兩個工廠A,B相距2km,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),現(xiàn)要在以O(shè)為圓心,2km為半徑的圓弧MN上的某一點(diǎn)P處建一幢辦公樓,其中MA⊥AB,NB⊥AB.據(jù)測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比,比例系數(shù)是1,辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比,比例系數(shù)是4,辦公樓受A,B兩廠的“總噪音影響度”y是受A,B兩廠“噪音影響度”的和,設(shè)AP為xkm.
(Ⅰ)求“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系,并求出該函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)當(dāng)AP為多少時(shí),“總噪音影響度”最小?
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科目:高中數(shù)學(xué)
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如圖,兩個工廠A,B(視為兩個點(diǎn))相距2km,現(xiàn)要在以A,B為焦點(diǎn),長軸長為4km的橢圓上某一點(diǎn)P處建一幢辦公樓.據(jù)測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP成反比,比例系數(shù)是1;辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP也成反比,比例系數(shù)是4.辦公樓受A,B兩廠的“總噪音影響度”y是受A,B兩廠“噪音影響度”的和,設(shè)AP=xkm.
(I)求“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(II)當(dāng)AP為多少時(shí),“總噪音影響度”最小?(結(jié)果保留一位小數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué)
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如圖,兩個工廠A、B相距3(Km),現(xiàn)要在以AB為直徑的圓弧上的某一點(diǎn)
處建一幢辦公樓(異于A、B點(diǎn)).據(jù)測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比,比例系數(shù)是1;辦公樓受工廠B的“噪音影響度” 與距離BP的平方也成反比,比例系數(shù)是4。辦公樓受A、B兩廠的“總噪音影響度”y是為受A、B兩廠“噪音影響度”之和,設(shè)AP為x(Km).
(1)求“總噪音影響度” y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)AP為多少時(shí),“總噪音影響度”最小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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如圖,兩個工廠A,B相距2
km,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),現(xiàn)要在以O為圓心,2 km為半徑的圓弧MN上的某一點(diǎn)P處建一幢辦公樓,其中MA⊥AB,NB⊥AB.據(jù)測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比
,比例系數(shù)是1,辦公樓受工廠B
的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比,比例系數(shù)是4,辦公樓受A,B兩廠的“總噪音影響度”y是受A,B兩廠“噪音影響度”的和,設(shè)AP為x km.
(1)求“
總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系,并求出該函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)AP為多少時(shí),“總噪音影響度”最��?
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