Question

已知a、b∈R，a²+ab+b²=3，則a²-ab+b²的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由基本不等式得：a²+b²≥|2ab|，結(jié)合已知條件中的等式，得|2ab|≤3-ab，從而解出-3≤ab≤1，由此代入a²-ab+b²，可得所求的取值范圍．
解答：解：∵a²+ab+b²=3，∴a²+b²=3-ab
∵由基本不等式，得a²+b²≥|2ab|，
∴|2ab|≤3-ab，得-3+ab≤2ab≤3-ab
解這個不等式，得-3≤ab≤1
∴-2ab∈[-2，6]
∵a²-ab+b²=（a²+ab+b²）-2ab=3+（-2ab）
∴a²-ab+b²∈[1，9]，
當且僅當a=b=1時，a²-ab+b²的最小值為1；當a=-b=時，a²-ab+b²的最大值為9
故答案為：[1，9]
點評：本題以不等式為載體，求變量的取值范圍，著重考查了用基本不等式求最值和簡單的演繹推理等知識，屬于基礎(chǔ)題．