Question

 (本題滿分16分)
已知圓，點(diǎn)，直線.
⑴求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；
⑵在直線上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿足：對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1）直線方程為
（2）存在點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為常數(shù)。

解：⑴設(shè)所求直線方程為，即，
直線與圓相切，∴，得，
∴所求直線方程為                -----------5分
⑵方法1：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，
當(dāng)為圓與軸左交點(diǎn)時(shí)，；
當(dāng)為圓與軸右交點(diǎn)時(shí)，，
依題意，，解得，（舍去），或。  -----------------8分
下面證明 點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)。
設(shè)，則， 
∴，
從而為常數(shù)。                                     -------------15分
方法2：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為常數(shù)，則，
∴，將代入得，
，即
對(duì)恒成立，         ----------------8分
∴，解得或（舍去），
所以存在點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為常數(shù)。  ------------15分