Question

對數(shù)列{a_n}，規(guī)定{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，規(guī)定{△^ka_n} 為數(shù)列{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n（k∈N^*，k≥2）．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n²+n（n∈N^*），則以下結(jié)論正確的序號為

①④

．
①△a_n=2n+2；       
②數(shù)列{△³a_n}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
③數(shù)列{△a_n}的前n項(xiàng)之和為a_n=n²+n；   
④{△²a_n}的前2014項(xiàng)之和為4028．

Answer 1

分析：根據(jù)k階差分?jǐn)?shù)列的定義，分別代入公式進(jìn)入驗(yàn)證即可．

解答：解：①∵△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），{△^ka_n}為數(shù)列{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列，an=n2+n．
∴△a_n=a_n+1-a_n =（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2，故①正確．
②∵△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△²a_n}是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列，
∴對數(shù)列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故數(shù)列{△³a_n}是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列，故②不正確．
③數(shù)列{△a_n}的前n項(xiàng)之和為△a₁+△a₂+…+△a_n=a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n=a_n+1-a₁=（n+1）²+（n+1）-（1+1）=n²+3n，故③不正確．
④△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△²a_n}是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列，{△²a_n}的前2014項(xiàng)之和為 2×2014=4028，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：點(diǎn)評：本小題以新定義為載體主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義的基礎(chǔ)知識，考查觀察、猜想并進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)思想方法，還考查了把新的定義轉(zhuǎn)化為利用所學(xué)知識進(jìn)行求解的能力．