橢圓的中心是原點O,它的短軸長為2,相應(yīng)于焦點F(c,0)(c>0)的準線l與x軸相交于點A,|OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.

(1)求橢圓的方程及離心率;

(2)若·=0,求直線PQ的方程;

(3)設(shè)=λ(λ>1),過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M,證明=-λ

答案:
解析:

  (1)解:由題意,可設(shè)橢圓的方程為=1(a>).

  由已知得

  解得a=,c=2

  所以橢圓的方程為=1,離心率e=

  (2)解:由(1)可得A(3,0).

  設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3).由方程組

  

  得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0

  依題意Δ=12(2-3k2)>0,得-<k<

  設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

  x1+x2, �、佟 1x2. �、�

  由直線PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).于是

  y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].

  ∵||·||=0,x1x2+y1y2=0.  ④

  由①②③④得5k2=1,從而k=±∈(-,).

  所以直線PQ的方程為x-y-3=0或x+y-3=0

  (2)證明:=(x1-3,y1),=(x2-3,y2).由已知得方程組

  注意λ>1,解得x2

  因F(2,0),M(x1,-y1),故=(x1-2,-y1)=(λ·(x2-3)+1,-y1)=(,-y1)=-λ(,y2).

  而=(x2-2,y2)=(,y2),所=-λ

  分析:本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),直線方程,平面向量的計算,曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓的中心是原點O,它的短軸長為2
2
,相應(yīng)于焦點F(c,0)(c>0)的準線l與x軸相交于點A,|OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若
OP
OQ
=0
,求直線PQ的方程;
(3)設(shè)
AP
AQ
(λ>1),過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M,證明
FM
=-λ
FQ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓的中心是原點O,它的短軸長為2
2
,相應(yīng)于焦點F(c,0)(c>0)的準線l與x軸相交于點A,|OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若
OP
OQ
=0
,求直線PQ的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓的中心是原點O,短軸長為2
3
,左焦點為F(-c,0)(c>0),相應(yīng)的準線l與x軸交于點A,且點F分
AO
的比為3,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若PF⊥QF,求直線PQ的方程;
(Ⅲ)設(shè)
AQ
AP
(λ>1),點Q關(guān)于x軸的對稱點為Q′,求證:
FQ′
=-λ
FP

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•煙臺二模)已知橢圓的中心是原點O,焦點在x軸上,過其右焦點F作斜率為1的直線l交橢圓于A.B兩點,若橢圓上存在一點C,使四邊形OACB為平行四邊形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若△OAC的面積為15
5
,求這個橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1 2.2橢圓練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題

橢圓的中心是原點O,它的短軸長為,相應(yīng)于焦點F(c,0)()的準線與x軸相交于點A,|OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點 .

(1)求橢圓的方程及離心率;

(2)若,求直線PQ的方程;

(3)設(shè)),過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M,證明.

 

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