橢圓的中心是原點O,它的短軸長為2,相應(yīng)于焦點F(c,0)(c>0)的準線l與x軸相交于點A,|OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若·
=0,求直線PQ的方程;
(3)設(shè)=λ
(λ>1),過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M,證明
=-λ
.
(1)解:由題意,可設(shè)橢圓的方程為 由已知得 解得a= 所以橢圓的方程為 (2)解:由(1)可得A(3,0). 設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3).由方程組 得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0 依題意Δ=12(2-3k2)>0,得- 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則 x1+x2= 由直線PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).于是 y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9]. ∵| 由①②③④得5k2=1,從而k=± 所以直線PQ的方程為x- (2)證明: 注意λ>1,解得x2= 因F(2,0),M(x1,-y1),故 而 分析:本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),直線方程,平面向量的計算,曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力. |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
2 |
OP |
OQ |
AP |
AQ |
FM |
FQ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
2 |
OP |
OQ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
AO |
AQ |
AP |
FQ′ |
FP |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1 2.2橢圓練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
橢圓的中心是原點O,它的短軸長為,相應(yīng)于焦點F(c,0)(
)的準線
與x軸相交于點A,|OF|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點 .
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若,求直線PQ的方程;
(3)設(shè)(
),過點P且平行于準線
的直線與橢圓相交于另一點M,證明
.
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