Question

設三組實驗數據（x₁，y₁）．（x₂，y₂）．（x₃，y₃）的回歸直線方程是：y=bx+a，使代數式[y₁-（bx₁+a）]²+[y₂-（bx₂+a）]²+[y₃-（bx₃+a）]²的值最小時，a=

.

y

-b

.

x

，b=

x1y1+x2y2+x3y3-3 . x . y

x12+x22+x32-3 . x 2

，（

.

x

、

.

y

分別是這三組數據的橫、縱坐標的平均數）
若有七組數據列表如圖：

x	2	3	4	5	6	7	8
y	4	6	5	6.2	8	7.1	8.6

（Ⅰ）求上表中前三組數據的回歸直線方程；
（Ⅱ）若|y_i-（bx_i+a）|≤0.2，即稱（x_i，y_i）為（Ⅰ）中回歸直線的擬和“好點”，求后四組數據中擬和“好點”的概率．

Answer 1

分析：（I）根據所給的數據做出x與y的平均數，代入求線性回歸方程系數的公式，利用最小二乘法做出結果，把樣本中心點代入求出a的值，寫出線性回歸方程．
（II）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是4，檢驗出符合好點的數據，根據所給的表示式檢驗出符合條件的事件數，根據古典概型概率公式得到結果．

解答：解：（I）前三組數的平均數：

.

x

=3，

.

y

=5
根據公式：b=

2×4+3×6+4×5-3×3×5

22+32+42-3×32

=

1

2

∴a=5-

1

2

×3=

7

2

∴回歸直線方程是：y=

1

2

x+

7

2

（II）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發(fā)生包含的事件是4，檢驗出符合好點的數據，
|6.2-3.5-0.5×5|=0.2≤0.2
|8-3.5-0.5×6|=1.5＞0.2
|7.1-3.5-0.5×7|=0.1＜0.2
|8.6-3.5-0.5×8|=1.1＞0.2
綜上，擬和的“好點”有2組，
∴“好點”的概率P=

2

4

=

1

2

點評：本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法求解線性回歸方程的系數，考查古典概型及其概率公式．考查利用挨個檢驗的方法驗證是否符合題意，本題是一個綜合題目．