Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²（x-

π

4

）-

3

cos2x+1，x∈[

π

4

，

π

2

]
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）降冪后利用兩角差的正弦函數(shù)化積，然后利用x的取值范圍求得函數(shù)的最大值和最小值；
（Ⅱ）不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，轉(zhuǎn)化為m-2＜f（x）＜m+2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為m-2，m+2與函數(shù)f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]上的最值的關(guān)系，列不等式后求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（I）f（x）=2cos²（x-

π

4

）-

3

cos2x+1
=cos(2x-

π

2

)-

3

cos2x+2
=sin2x-

3

cos2x+2
=2(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+2
=2(sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

)+2
=2sin(2x-

π

3

)+2．
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴當(dāng)2x-

π

3

=

π

6

，即x=

π

4

時(shí)，f_min（x）=3．
當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時(shí)，f_max（x）=4；
（II）|f（x）-m|＜2?m-2＜f（x）＜m+2，
∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
∴

m-2＜fmin(x) m+2＞fmax(x)

，即

m-2＜3 m+2＞4

，解得：2＜m＜5．
故m的取值范圍為（2，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)倍角公式，兩角差的正弦公式，考查了三角函數(shù)最值的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含m的代數(shù)式與f（x）的最值關(guān)系問(wèn)題，是中檔題．