Question

設(shè)函數(shù)f(x)=log

1

2

x+1

x-1

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若x∈[3，+∞）時(shí)，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先判斷函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再用奇函數(shù)的定義判斷；（2）不妨設(shè)u(x)=

x+1

x-1

，1＜x1＜x2，則可知函數(shù)為減函數(shù)，又f(x)=log

1

2

u(x)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；（3）易知取3時(shí)，函數(shù)取最小值，故可求．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
由

x+1

x-1

＞0得x＞1或x＜-1，又f(-x)=log

1

2

-x+1

-x-1

=-f(x)，∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（2）不妨設(shè)u(x)=

x+1

x-1

，1＜x1＜x2，則u(x1)-u(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，∴u(x1)-u(x2)=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，∴u（x₁）＞u（x₂），
又f(x)=log

1

2

u(x)，∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由題意，x∈[3，+∞）時(shí)，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，等價(jià)于f(3)-(

1

2

)3＞m，解得m＜-

9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇函數(shù)的定義及單調(diào)性的證明，同時(shí)考查了分離參數(shù)法研究恒成立問(wèn)題．