Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y），且當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥1，解不等式f（x）＜

1

f(x+1)

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件令x=y=

t

2

，則f（t）=f²（

t

2

）≥0，舍去等號(hào)，再令x=y=0即有f（0）=1．再令m≤n，則n-m≥0，即有f（n-m）≥1，再由條件即可得到f（x）在R上遞增，則f（x）＜

1

f(x+1)

，即為f（x）f（x+1）＜1，由已知條件和單調(diào)性即可得到解集．

解答： 解：∵任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y），
∴令x=y=

t

2

，則f（t）=f²（

t

2

）≥0，
由當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥1，顯然f（t）＞0，
再令x=y=0，則f（0）=f²（0），即有f（0）=1．
再令m≤n，則n-m≥0，即有f（n-m）≥1，
則f（n）=f（n-m+m）=f（n-m）f（m）≥f（m），
即有f（x）在R上遞增，
則f（x）＜

1

f(x+1)

，即為f（x）f（x+1）＜1，
即有f（2x+1）＜1=f（0），
由f（x）在R上遞增，
則2x+1＜0，解得x＜-

1

2

．
故不等式的解集為（-∞，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用解不等式，屬于中檔題．