Question

一袋中裝有4n只紅球和n只黑球（所有球的形狀、大小都相同），每一次從袋中摸出兩只球，且每次摸球后均放回袋中．現(xiàn)規(guī)定：摸出的兩只球顏色不同則為中獎(jiǎng)．設(shè)三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P，則當(dāng)n=

5

時(shí)，使得P最大．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)某一次中獎(jiǎng)的概率為q，由古典概型公式和組合數(shù)公式可將q用n表示出來，進(jìn)而由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的公式將p用q表示，分析可得q=

1

3

時(shí)，p最大；
進(jìn)而可得

8n

5(5n-1)

=

1

3

，解可得n的值，即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，設(shè)某一次中獎(jiǎng)的概率為q，
在4n只紅球和n只黑球任取2只有C_5n²種取法，若摸出的兩只球顏色不同即一紅一黑有C_4n¹×C_n¹種情況，
則q=

C 1 4n • C 1 n

C 2 5n

=

8n

5(5n-1)

；
若三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)，
則P=C₃¹q•（1-q）²=3q（1-q）²=

2

3

[（2q）（1-q）（1-q）]，
分析可得，當(dāng)2q=1-q，即q=

1

3

時(shí)，p最大；
若q=

8n

5(5n-1)

=

1

3

，解可得n=5；
即n=5時(shí)，p最大；
故答案為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及基本不等式的運(yùn)用，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用概率公式，求出兩只球顏色不同的概率以及三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率．