Question

函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=xlnx，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x＞0時，求函數(shù)f（x）的極值；
（3）關于x的方程f（x）=m有且只有一個實數(shù)解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)零點的判定定理,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用奇函數(shù)的性質即可得出；
（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值即可得出；
（3）結合圖象，利用函數(shù)圖象的交點、極值即可得出．

解答： 解：（1）設x＜0，則-x＞0，則 f（-x）=-xln（-x），
 得f（x）=xln（-x），
當 x=0時，f（x）=0．
綜上：x＞0時f（x）=xlnx；x=0時，f（x）=0；x＜0時，f（x）=xln（-x）．
（2）x＞0時，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
∴f′（x）＜0，得 x∈（0，

1

e

） 單調遞減；
f′（x）＞0 得x∈（

1

e

，+∞）單調遞增．
 綜上：函數(shù)極小值為f（

1

e

）=-

1

e

．
又∵函數(shù)是奇函數(shù)，
∴函數(shù)極大值為f（-

1

e

）=

1

e

．
（3）由于關于x的方程f（x）=m有且只有一個實數(shù)解，
由圖象可知：m＞

1

e

或m＜-

1

e

．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調性、函數(shù)圖象的交點、方程的根，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．