Question

已知函數f（x）的定義域為I，導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜2，且f′（x）≠1，常數c₁為方程f（x）-x=0的實數根，常數c₂為方程f（x）-2x=0的實數根．
（1）若對任意[a，b]⊆I，存在x₀∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立．求證：方程f（x）-x=0不存在異于c₁的實數根；
（2）求證：當x＞c₂時，總有f（x）＜2x成立．

Answer 1

證明：（1）假設方程f（x）-x=0有存在異于c₁的實數根m，即f（m）=m，
則∵對任意[a，b]⊆I，存在x₀∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立
∴m-c₁=f（m）-f（c₁）=（m-c₁）f′（x₀）成立
∵m≠c₁，∴f′（x₀）=1，這與f′（x）≠1矛盾
∴方程f（x）-x=0不存在異于c₁的實數根；
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵h′（x）=f′（x）-2＜0，
∴函數h（x）為減函數
又∵h（c₂）=f（c₂）-2c₂=0
∴當x＞c₂時，h（x）＜0，
即f（x）＜2x成立．
分析：（1）利用反證法．假設方程f（x）-x=0有存在異于c₁的實數根m，即f（m）=m，則有m-c₁=f（m）-f（c₁）=（m-c₁）f′（x₀）成立，根據m≠c₁，可得f′（x₀）=1，從而與f′（x）≠1矛盾，故命題得證；
（2）構造h（x）=f（x）-2x，可以得出函數h（x）為減函數，根據h（c₂）=f（c₂）-2c₂=0，可得結論．
點評：本題以函數為載體，考查函數與方程的綜合運用，考查反證法思想，同時考查了利用導數證明不等式，解題的關鍵是構造函數，利用導數研究函數的單調性．