已知數(shù)集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…an，n≥2）具有性質(zhì)P；對任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj與
aj
ai
兩數(shù)中至少有一個屬于A．
（I）分別判斷數(shù)集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
（Ⅱ）證明：a1=1，且
a1+a2+…+an
a
-1
1
+
a
-1
2
+…+
a
-1
n
=an；
（Ⅲ）證明：當(dāng)n=5時，a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列．
分析：（I）根據(jù)性質(zhì)P；對任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj與
aj
ai
兩數(shù)中至少有一個屬于A，驗(yàn)證給的集合集{1，3，4}與{1，2，3，6}中的任何兩個元素的積商是否為該集合中的元素；
（Ⅱ）由性質(zhì)P，知anan＞an，故anan∉A，從而1=
an
an
∈A，a1=1．再驗(yàn)證又∵
an
an
＜
an
an-1
＜…＜
an
a2
＜
an
a1
，
an
an
=1，
an
an-1
=a2，…，
an
a2
=an-1，從而
an
an
+
an
an-1
+…+
an
a2
+
an
a1
=a1+a2+…+an，命題得證；
（Ⅲ）跟據(jù)（Ⅱ），只要證明
a5
a4
=
a4
a3
=
a3
a2
=
a2
a1
=a2即可．
解答：解：（Ⅰ）由于3×與均不屬于數(shù)集{1，3，4，
∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，
6
2
，
6
3
，
1
1
，
2
2
，
3
3
，都屬于數(shù)集{1，2，3，6，
∴該數(shù)集具有性質(zhì)P．
（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，an}具有性質(zhì)P，
∴anan與
an
an
中至少有一個屬于A，
由于1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an
故anan∉A．
從而1=
an
an
∈A，a1=1．
∵1=a1＜a2＜…an，n≥2，∴akan＞an（k=2，3，4，…，n），
故akan∉A（k=2，3，4，…，n）．
由A具有性質(zhì)P可知
an
ak
∈A（k=2，3，4，…，n）．
又∵
an
an
＜
an
an-1
＜…＜
an
a2
＜
an
a1
，
∴
an
an
=1，
an
an-1
=a2，…，
an
a2
=an-1，
從而
an
an
+
an
an-1
+…+
an
a2
+
an
a1
=a1+a2+…+an，
∴且
a1+a2+…+an
a
-1
1
+
a
-1
2
+…+
a
-1
n
=an；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)n=5時，
有
a5
a4
=a2，
a5
a3
=a3，即a5=a2•a4=a32，
∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，
由A具有性質(zhì)P可知
a4
a3
∈A．
由a2•a4=a32，得
a3
a2
= 
a4
a3
∈A，
且1＜
a3
a2
=a2，∴
a3
a2
=
a4
a3
=a2，
∴
a5
a4
=
a4
a3
=
a3
a2
=
a2
a1
=a2，
即a1，a2，a3，a4，a5 是首項(xiàng)為1，公比為a2等比數(shù)列．
點(diǎn)評：本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．此題能很好的考查學(xué)生的應(yīng)用知識分析、解決問題的能力，側(cè)重于對能力的考查，屬于較難層次題．
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已知數(shù)集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性質(zhì)P：對任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj與
ajai
兩數(shù)中至少有一個屬于A．
（1）分別判斷數(shù)集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
（2）求a1的值；當(dāng)n=3時，數(shù)列a1，a2，a3是否成等比數(shù)列，試說明理由；
（3）由（2）及通過對A的探究，試寫出關(guān)于數(shù)列a1，a2，…，an的一個真命題，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)集A={a1，a2，…，an}，其中0≤a1＜a2＜…＜an，且n≥3，若對?i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{0，1，3}與數(shù)集{0，2，4，6}是否具有性質(zhì)P，說明理由；
（Ⅱ）已知數(shù)集A={a1，a2…a8}具有性質(zhì)P，判斷數(shù)列a1，a2…a8是否為等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，請證明；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)集A={a1，a2，…，an}（1=a1＜a2＜…＜an，n≥4）具有性質(zhì)P：對任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{1，2，4，6}與{1，3，4，7}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
（Ⅱ）求證：a4≤2a1+a2+a3；
（Ⅲ）若an=72，求n的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)集A={a1，a2，…，an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性質(zhì)P：對?i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個屬于A．
（1）分別判斷數(shù)集{0，1，3}與數(shù)集{0，2，4，6}是否具有性質(zhì)P，說明理由；
（2）求證：a1+a2+…+an=
n2
an；
（3）已知數(shù)集A={a1，a2…，a8}具有性質(zhì)P．證明：數(shù)列a1，a2，a8是等差數(shù)列．

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