已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3
3
，且
AB
•
BC
=6，
AB
與
BC
的夾角為α．
（1）求α的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（α）=sin2α+2sinαcosα+3cos2α，求f（α）的最小值，并指出取得最小值時的α．
分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積的定義及三角形的面積公式，求出tanα的范圍，從而求出α的取值范圍．
（2）由二倍角的三角函數(shù)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把f（α）化為2+
2
sin（2α+
π
4
），由α的范圍得到2α+
π
4
的范圍，進而得到2+
2
sin（2α+
π
4
）的最小值．
解答：解：（1）由題意知
AB
•
BC
=6=|
AB
|•|
BC
|cosα  ①，
S=
1
2
|
AB
|•|
BC
|sin（π-α）=
1
2
|
AB
|•|
BC
|sinα  ②，
由②÷①得
s
6
=
1
2
tanα，即3tanα=S，由3≤S≤3
3
，得3≤3tanα≤3
3
，即 1≤tanα≤
3
，
又α為
AB
與
BC
的夾角，∴α∈〔0，π〕∴α∈[
π
4
，
π
3
]．
（2）f（α）=sin2α+2sinαcos+3cos2α=1+sin2α+2cos2α?
∴f（α）=2+sin2α+cos2α=2+
2
sin（2α+
π
4
），
∵α∈〔
π
4
，
π
3
〕，∴2α+
π
4
∈〔
3π
4
，
11π
12
〕，
∴當(dāng) 2α+
π
4
=
11π
12
，即α=
π
3
時，f（α）min=
3+
3
2
．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角的三角公式的應(yīng)用以及由角的范圍確定三角函數(shù)值的范圍的方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•和平區(qū)三模）已知△ABC的面積S滿足
3
≤S≤3，且
AB
•
BC
=6，
AB
與
BC
的夾角為θ．
（1）求θ的范圍．
（2）求函數(shù)f（θ）=
1-
2
cos(2θ-
π
4
)
sinθ
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是三內(nèi)角A，B，C的對邊，已知△ABC的面積S=
3
，a=2
3
，b=2，求第三邊c的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的面積S=5
3
，AB=4，最大邊AC=5，那么BC邊的長為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•海淀區(qū)二模）已知△ABC的面積S=
3
，∠A=
π
3
，則
AB
•
AC
=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•寶山區(qū)一模）已知△ABC的面積S=4，b=2，c=6，則sinA=
2
3
2
3
．

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