Question

已知數列的前項和滿足：（為常數，且）． 

（1）求的通項公式；

（2）設，若數列為等比數列，求的值；

（3）在滿足條件（2）的情形下，設，數列的前項和為 ,求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查數列的通項公式和數列求和問題，考查學生的計算能力和分析問題的能力以及推理論證的能力.第一問，是由求；第二問，先把第一問的結論代入，整理出表達式，已知為等比數列，所以用數列的前3項的關系列式求；第三問，把第二問的結果代入，化簡表達式，本問應用了放縮法和分組求和的方法.

試題解析：（1）∴

當時，

，即是等比數列． ∴；                 4分

（2）由（Ⅰ）知，，若為等比數列，

 則有而

故，解得，                7分

再將代入得成立， 所以．                8分

（3）證明：由（Ⅱ）知，所以

，                         9分

由得

所以，                12分

從而

．

即．                        14分

考點：1. 由求；2.等比數列的通項公式；3.等比中項；4.放縮法；5.分組求和.