Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁＞0，公比q＞0，前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）試比較與的大小；
（Ⅱ）設(shè){a_n}滿足：，數(shù)列{b_n}滿足：，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和使數(shù)列{b_n}成等差數(shù)列的正數(shù)k的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）①當(dāng)q=1時，，，
∴．
②當(dāng)q＞0且q≠1時，=，
此時也有．
綜上可知：． …（4分）
（Ⅱ）當(dāng)n=1時，lga₁=1?a₁=10.，①
∴當(dāng)n≥2時，，②
將①-②得：，
∴l(xiāng)ga_n=n，∴a_n=10ⁿ．
綜上可知：對n∈N^*，a_n=10ⁿ． …（8分）
∴．
要使{b_n}成等差數(shù)列，則為常數(shù)，…（10分）
故只須lgk=0，即k=1． …（12分）
分析：（Ⅰ）對公比q的值進(jìn)行分類討論：①當(dāng)q=1時，，，②當(dāng)q＞0且q≠1時，結(jié)合作差法比較大小即可得到：；
（Ⅱ）先就n的值討論：當(dāng)n=1時；當(dāng)n≥2時，兩式相減，從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再計(jì)算出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，要使{b_n}成等差數(shù)列，為常數(shù)從而求出k值．
點(diǎn)評：本小題主要考查等差關(guān)系的確定、數(shù)列的求和、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．