Question

矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點M （2，0），AB邊所在直線的方程為：x-3y-6=0．若點N（1，-5）在直線AD上．
（1）求點A的坐標(biāo)及矩形ABCD外接圓的方程；
（2）過直線x-y+4=0上一點P作（1）中所求圓的切線，設(shè)切點為E、F，求四邊形PEMF面積的最小值，并求此時的值．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥AD，AB邊所在直線的斜率為，∴直線AD斜率為-3．
故 直線AD方程為 y+5=-3（x-1），即 3x+y+2=0．
由 解得 ，∴點A的坐標(biāo)為（0，-2）．
由題意可得，矩形ABCD外接圓的圓心即點M （2，0），半徑等于AM=R=2，
故矩形ABCD外接圓的方程為 （x-2）²+y²=8．
（2）由圓的切線性質(zhì)可得四邊形PEMF面積S=PE•R=R=2•．
由于PM的最小值即為圓心M到直線直線x-y+4=0的距離d==3，
故四邊形PEMF面積S的最小值為 2•=4．
此時，=，設(shè)∠MPE=∠MPF=α，則sinα==，
∴=cos2α=（1-2sin²α）=10（1-2×）=．
分析：（1）用點斜式求出直線AD方程，把它與AB邊所在直線的方程聯(lián)立方程組求出點A的坐標(biāo)．再由圓心即點M （2，0），半徑等于AM=R=2，求出矩形ABCD外接圓的方程．
（2）由切線性質(zhì)可得四邊形PEMF面積S=PE•R=R，根據(jù)PM的最小值即為圓心M到直線直線x-y+4=0的距離d，由此求得四邊形PEMF面積S的最小值．
設(shè)∠MPE=∠MPF=α，則sinα==，由 =cos2α=（1-2sin²α），運算求得結(jié)果．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，圓的切線性質(zhì)，二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．