Question

已知函數(shù)f(x)=

k x 2

e x

，其中k∈R且k≠0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，若存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)k討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，g（x）=

2lnx-x

x

（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等價(jià)于a＜g（x）_max，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=

-kx(x-1)

ex

當(dāng)k＜0時(shí)，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，2）；
當(dāng)k＜0時(shí)，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，f(x)=

x 2

e x

，x＞0，1nf（x）＞ax成立，等價(jià)于a＜

2lnx-x

x

設(shè)g（x）=

2lnx-x

x

（x＞0）
存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等價(jià)于a＜g（x）_max，
g′(x)=

2(1-lnx)

x2

，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減
∴g（x）_max=g（e）=

2

e

-1
∴a＜

2

e

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查存在性問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．