Question

用解析幾何方法證明三角形的三條高線交于一點．

Answer 1

分析：建立直角坐標系，寫出各點的坐標，利用兩點的連線的斜率公式求出AB的斜率，利用兩直線垂直斜率互為倒數得到AB邊上的高的斜率，利用點斜式求出AB邊的高的方程，同理求出AC邊上的高，兩高線的方程聯(lián)立得到高線的交點．

解答：證明：取△ABC最長一邊BC所在的直線為X軸，經過A的高線為Y軸，設A、B、C的坐標分別為A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根據所選坐標系，如圖，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程為

x

b

+

y

a

=1，其斜率為-

a

b

，AC的方程為

x

c

+

y

a

=1，其斜率為-

a

c

，高線CE的方程為y=

b

a

(x-c)(1)高線BD的方程為y=

c

a

(x-b)(2)．

解（1）、（2），得：（b-c）x=0
∵b-c≠0∴x=0
即高線CE、BD的交點的橫坐標為0，也即交點在高線AO上．
因此，三條高線交于一點．

點評：本題考查通過建立直角坐標系將問題轉化為代數問題、考查兩點連線的斜率公式、考查兩直線垂直斜率乘積為-1、考查兩直線的交點坐標的求法．